Les dossiers pédagogiques de l’Educateur

N°36-37 – 1^er octobre 1968

CALCUL ET MATHÉMATIQUE

au cours moyen et en classe de transition

par M. Beaugrand et M. Paulhiès

CALCUL ET MATHÉMATIQUE

au cours moyen et en classe de transition

Les instituteurs sont fort préoccupés par l’enseignement du Calcul, surtout depuis que - voici quelques années seulement - l’idée de la mathématique moderne, jusque là réservée à un noyau de spécialistes, a gagné l’ensemble du corps enseignant.

Notre mouvement pédagogique avait ses principes qui ont été longuement discutés dans nos revues et exposés, accompagnés d’exemples, dans différentes brochures (1)

L’introduction de la mathématique moderne rend-elle caducs tous ces principes ?

Nous ne le pensons pas. Nous continuons à considérer les moments de Calcul comme des recherches, des échanges d’idées entre les élèves, par petits groupes ou avec le maître, sur des situations tantôt réelles, tantôt inventées. L’essentiel, à notre avis, c’est de donner à l’humain la première place. Or, en considérant le « langage mathématique », avec son symbolisme, sa schématisation, comme un moyen d’expression, de stockage de la pensée, de communication entre les hommes - au même titre que le langage, le geste, le regard, le dessin, l’écriture, la musique - la mathématique retrouve une signification qu’elle n’aurait jamais dû perdre.

C’est l’École, en voulant à tout prix enseigner des notions, faire réciter des théorèmes, en contraignant les élèves à effectuer des exercices dont la plupart ne voyaient pas l’utilité, c’est l’École qui a fait apparaître les mathématiques comme un pensum.

Alors la question se pose : comment nous, maîtres peu informés, avec des élèves en majorité dégoûtés du Calcul et de la mathématique, allons-nous, malgré tout, essayer de retrouver cet éclairage humain dont nous parlions tout à l’heure, sans pour autant négliger et la formation de l’esprit et l’acquisition des mécanismes encore indispensables.

La question restera toujours posée.

Nous pensons être utiles à nos camarades qui exercent en CM et Classes de Transition en leur apportant dans ce dossier quelques expériences menées dans des milieux divers, dans les conditions habituelles de travail : les compromis que chacun d’entre nous est obligé d’accepter chaque jour, conscient d’une meilleure façon de faire vers laquelle, coopérativement, nous nous acheminons. Libre au lecteur de se joindre à nous ; nous l’y invitons.

(1) Notamment le n°13-14 de la collection Bibliothèque de l’École Moderne « L’enseignement du Calcul ».

SOMMAIRE

* Partir, non pas des manuels ou d’une liste de notions, mais de la vie
- A la recherche des vrais problèmes                        G. LECLERC
- Des chevrotines... aux pendules                        Y. MENY

* Vivifier le travail par les échanges interscolaires
- Pistes de calcul vivant                        J.C. GUILLON
                        J.PESLHERBE
                        R CROUZET
                        J. VARENNES
                        Bulletin de l’Indre

* Favoriser le tâtonnement expérimental
- Travail sur les fractions                                   G. FOURNES
- Une intéressante séance de travail               G. DELOBBE

* Favoriser l’intuition
- Pour développer l’esprit critique face
à des résultats "ahurissants"                        P. SAOUT

* Élaborer en commun des cadres souples de travail
- Organisation de la classe                               O. et M. PAULHIES
- L’organisation du travail en calcul                         J. RAVARY
- L’atelier de calcul par bandes programmées                         M. BEAUGRAND
                        M. PELLISSIER

* L’atelier mathématique par bandes programmées                         M. BEAUGRAND

* Quelques ouvertures mathématiques                         P. DELBASTY

* Bibliographie

PARTIR, NON PAS DES MANUELS
OU D’UNE LISTE DE NOTIONS,
MAIS DE LA VIE.

A la recherche des vrais problèmes

Voici deux exemples d’histoires chiffrées présentées dernièrement dans ma classe par des élèves. Je les ai choisies - parmi beaucoup d’autres - car le travail qu’elles ont motivé me paraît intéressant.

1) Exemple d’histoire chiffrée réelle (présentée par Christian J.)

« J’ai une voiture « modèle réduit » qui mesure 10,5 cm de long et 4,4 cm de large. Sous le châssis, c’est marqué 1/37- Je voudrais savoir les vraies dimensions de la voiture. »

Le dialogue s’engage :

- L’as-tu apportée ?

- Non, mais je peux vous la montrer demain.

Beaucoup d’enfants trouvent rapidement les résultats (3,996 m et 1,628 m). Je note au passage les élèves qui ont encore des difficultés avec les échelles (ils inscriront cette lacune sur leur prochain plan de travail).

Un élève remarque :
- La voiture mesure sûrement quatre mètres !
- Ça dépend...
- Il a peut-être mal mesuré.

Christian explique alors qu’il s’est servi de son double décimètre. C... dit qu’il est possible de mesurer de façon plus précise ; il va chercher le pied à coulisse dans l’armoire. Aucun élève ne sait utiliser cet instrument.

Pour le lendemain trois camarades se proposent d’effectuer des mesures plus précises et de présenter le fonctionnement du pied à coulisse.

Des documents relatifs à l’automobile nous apprendront également que les dimensions des voitures « ne tombent pas forcément juste » et que l’une peut très bien mesurer 3,99 m et une autre 4,01 m.

Sur le plan du calcul, nous n’avons pas poussé plus loin l’exploitation de cette histoire ; j’ai regretté depuis de n’avoir pas fait effectuer des mesures sur de vraies voitures, ce qui nous aurait permis de comparer les différents résultats.

2) Exemple d’histoire chiffrée inventée (présentée par Alain J.)

« A la pêche, j’ai pris deux brochets. Je les pèse et je trouve un poids total de 3,6 kg. Le premier poisson pèse les 3/15 du poids total. Quel est le poids de chaque brochet ? »

(Lorsque cette histoire a été présentée, je venais d’aborder la notion de fraction, dans une leçon a posteriori).

1^re solution proposée :
1^er brochet : 3,6 kg X 3/15 = 0,72 kg
2^me brochet : 3,6 kg - ⁰,72 kg = 2,88 kg
Tous les élèves comprennent ce raisonnement.

Un autre groupe propose une :
2^e solution:
1^er brochet : 3,6 kg X 3/15 = 0,72 kg
2^me brochet : 3,6 kg X 12/15 = 2,88 kg

Quelques élèves ne comprennent pas l’origine de la fraction 12/15
Cette lacune motivera des recherches à l’atelier de calcul.

3^e solution :
1^er brochet : 3,6 kg X 3/15 = 0,72 kg
2^me brochet : 0,72 kg X 4 = 2,88 kg
La moitié des élèves « décroche ». Un camarade explique alors le rapport existant entre les fractions
3/15 et 12/15

4^e solution:
1^er brochet : 3,6 kg X 1/15 = 0,72 kg
2^me brochet : 3,6 kg X 4/5 = 2,88 kg
Réactions nombreuses :
- C’est faux !
- Pourtant ils trouvent le même résultat...
- Les fractions ne sont pas les mêmes.

Quelques élèves de cinquième essaient, sans succès, de justifier ce raisonnement.
J’interviens alors pour diriger l’expérimentation.
Pendant qu’un groupe travaille à une enquête chiffrée, je fais prendre aux autres deux feuilles de dimensions rigoureusement égales, la première est divisée en quinze parties égales, la seconde en cinq parties égales (dessin ci-contre).

Je fais prendre conscience de la valeur de chaque partie 1/5 et 1/15.

Les élèves découpent alors le fragment ABCD de chaque feuille en indiquant la fraction 3/15 et1/5

Par superposition, ils s’aperçoivent que ces deux morceaux de feuille sont égaux et qu’en conséquence on peut écrire :

3/15 = 1/15

L’expérience est reprise avec d’autres fractions (1/3 et 1/9)

J’invite ensuite à considérer ces fractions identiques et à découvrir le rapport qui existe entre elles.

- Il faut multiplier par trois... Il faut diviser par trois...

Après d’autres essais, nous déduisons la loi qui permet d’inventer des fractions identiques à une fraction donnée.

Et notre séance de calcul se termine à ce stade.

Les jours suivants, nous réviserons et approfondirons avec la simplification des fractions (facteurs premiers, caractères de divisibilité et décomposition en facteurs...)

Guy LECLERC

Des chevrotines... ...aux pendules

Dans le bric-à-brac de notre atelier, Serge dont le grand-père est chasseur, avait apporté des chevrotines de tailles différentes. Nous nous en servîmes tout d’abord à l’atelier « pesées » pour réaliser des équilibres avec une balance à bras déplaçable.

Or, un jour, nous eûmes besoin d’une belle verticale et Serge transforma ses chevrotines en fil à plomb: quelques petits clous de cordonnier et des brins de laine lui suffirent.

En utilisant ces fils à plomb Hervé, Francis et Serge s’aperçurent qu’il n’était pas si facile d’obtenir une série de verticales, les fils étaient animés, pour la plus grande part d’entre eux, d’un léger mouvement. Ce fait, qu’ils firent d’ailleurs remarquer à leurs camarades, ne leur suffit sans doute pas pour engager des recherches et il fallut un autre événement pour les y décider.

Le lendemain, dans le lot de films qui furent projetés en séance coopérative, le hasard fit qu’un court métrage dans une séquence assez rapide, leur permit d’entrevoir un pendule en mouvement. Au retour en classe, dans la discussion qui suivit, Hervé fit devant ses camarades le rapprochement entre les fils à plomb et le fameux pendule, et décida avec Francis et Serge de monter un atelier « Pendules ».

Le 20 décembre, après une séance de travail durant laquelle ils se sont contentés d’observer un grand pendule lesté par un poids de laiton, ils font un compte rendu au cours duquel ils parviennent, avec le vocabulaire dont ils disposent, à définir les notions d’amplitude et d’amortissement des oscillations. Je leur fournis les termes exacts. Francis fait remarquer que le pendule revient au repos, c’est-à-dire à la verticale : il appelle cette position : « il revient à zéro ».

Les observations de leurs camarades vont alors les aider. Le grand pendule est lancé. Il est suspendu à une tige de fer et oscille devant le plan du tableau. Au fur et à mesure de l’amortissement les remarques fusent. « Il allait plus vite au début », « il va aussi loin d’un côté que de l’autre », « il s’approche du tableau ». L’expérience est refaite et Francis compte les oscillations doucement. A la fin, il fait remarquer : « Au début, il va loin et il va vite, mais à la fin, il ne va pas loin et il va lentement. Peut-être qu’il met le même temps ? »

Une dernière fois, le pendule est lancé, et Francis et Hervé rythment le battement en tapant sur la table. Hervé dit : « Francis doit avoir raison, mais pour le savoir, ce n’est pas possible ».

Pour leurs recherches, je leur explique que pour mesurer le temps il faut un chronomètre. Ils décident d’aller emprunter celui du groupe sportif pour la prochaine séance d’atelier. Je leur en montre le maniement et tous les trois s’entraînent à mesurer le temps.

Dans la séance d’atelier suivante, ils se sont décidés à compter le nombre d’oscillations du grand pendule pendant une minute; le compte de chacun est différent.

Après deux tentatives supplémentaires à la fin desquelles l’accord n’est pas réalisé, ils viennent demander l’aide de la classe et comme dit Francis : « Les plus nombreux auront sans doute raison ».

Le pendule est déclenché en même temps que le chronomètre et toute la classe compte. Au stop crié par Hervé tous confrontent leurs résultats; comme l’accord est relatif, Francis fait un tableau :

Un second essai de compte est réalisé et 26 élèves comptent 24 oscillations. Le groupe des 3 décide de s’en tenir à 24 battements par minute.

Hervé fabrique un pendule de petite taille et Francis l’imite. Ils vont compter la fréquence des oscillations pour ces pendules. Ils établiront un tableau:

Hervé calcule pour son pendule le nombre d’oscillations pour 2, puis 3, puis 4 minutes. Pour vérifier ses comptes, il a l’idée de tenter l’expérience inverse. I1 déclenche le chrono et simultanément libère le pendule et le laisse aller pendant plusieurs minutes sans consulter le chronomètre, mais en comptant les oscillations. Lorsqu’il arrive sur un compte qui figure à son tableau de calcul, il effectue le contrôle sur le chrono. Il constate un léger décalage et comme il dit : « Il y a des poussières de minutes en trop ».

Ils reviennent au grand pendule et pour la même expérience, parviennent à un résultat très précis. Francis dit : « C’est plus sûr de se servir du grand pendule. Si on pouvait en faire un avec un bras plus long, ce serait encore mieux ».

Mais voici une dérivation.

Ils ont observé que l’axe du pendule oscille légèrement en même temps que l’ensemble. Patrick a même trouvé qu’en donnant à cet axe un petit mouvement gauche-droite de faible amplitude, le pendule se met à osciller avec une grande amplitude. Ils n’iront pas plus loin dans cette voie car une autre observation les occupe et leur paraît plus intéressante ; le pendule n’oscille pas dans le même plan et petit à petit se rapproche du tableau. Hervé parvient à faire osciller le pendule jusqu’à amortissement presque complet et dessine la courbe que suit le lest à la fin de l’opération.

A la séance suivante, le pendule de Hervé est devenu une montre valable jusqu’à 5 minutes. Francis qui s’essaie au chronomètre est parvenu avec Patrick à mesurer la durée d’une oscillation du grand pendule : 2 secondes. De plus, il parvient à établir après de très nombreux essais, que ce temps ne varie pas même si l’amplitude de l’oscillation devient très faible.

Un nouveau groupe s’est formé qui a eu l’idée de monter sur le même axe 2 pendules de bras différent (en longueur). Ce groupe réussit à percevoir les mouvements en phase et tente de mesurer au chrono la durée séparant 2 phases.

Ils ne parviendront pas à accorder leurs réflexes au chronomètre et leur jugement oculaire était très différent de l’un à l’autre.

Le même groupe fabriquera plus tard un pendule à lest réglable en perçant avec un clou une chevrotine et en la glissant sur une baleine de parapluie. Il réalisera tout un tableau de mesures correspondant au décalage du poids le long du bras.

Puis en substituant au lest d’origine pesant 16 g des poids de 7 g et de 25 g, ils feront une série d’expériences comparatives.

Le phénomène d’amortissement progressif occupera aussi le groupe Hervé, Francis et Patrick. Ils essaient de l’expliquer : « En montant, il se fatigue tout à fait et il redescend. Au fur et à mesure il se fatigue de plus en plus ».

Patrick tentera un montage à l’aide d’élastiques pour obtenir un mouvement entretenu. Ce sera un échec, car sitôt libéré, le pendule est animé de mouvements désordonnés et très vite amortis.

Les essais de représentation graphique du mouvement se limiteront au croquis suivant où ils font intervenir la notion de vitesse et expliquent ses variations par des « images » : la descente et la côte.

Vers la fin du mois de janvier leurs derniers travaux les amèneront à comparer la précision de leur horloge (le grand pendule) avec l’horloge à eau réalisée et étudiée par un autre Patrick en atelier.

Il a pris pour point de départ la mesure la plus petite : 6 osc. = 15 s et a réalisé sans le savoir un tableau des classes résiduelles du module 6. Il a saisi parfaitement que 3 oscillations correspondraient à la moitié de 15 s, mais n’a pu trouver une expression numérique exacte pour une oscillation. Alors arbitrairement, il est arrivé à ajouter par classe tantôt 3 s, tantôt 2 secondes (tableau ci-contre).

Il exploita ainsi son tableau : ex : 57 osc. = 2 mn + 15 s + 3 s = 2 mn 18 s.

TABLEAU RÉALISÉ PAR HERVÉ POUR LE GRAND PENDULE

Longueur du bras : 1,80 m - Poids de 100 g

En 1 mn : 24 oscillations ; pour 1/2 mn : 12 osc. - pour 1/4. mn : 6 osc.

                                                         30 secondes                15 secondes

MENY
Cadaujac - 33

VIVIFIER LE TRAVAIL
PAR LES ÉCHANGES INTERSCOLAIRES

Voici un relevé d’occasions de calcul qui ont été échangées entre écoles correspondantes :

Pistes de calcul vivant

C’est la première année que je ne fais plus aucune leçon de calcul.

Les occasions de calcul ont deux origines :

1) un élève apporte des renseignements chiffrés,

2) un élève voudrait savoir : la classe est chargée de trouver les renseignements nécessaires.

I. Premier jour de classe : Élection du bureau de la coopérative. Question du nouveau trésorier :

- Combien y a-t-il d’argent en caisse ?
- 127,50 F (réponse du maître).
- C’est peu ! On avait gagné beaucoup d’argent à la fête.
- Tiens, voilà le cahier de comptes avec recettes et dépenses. Vérifie.
Travail effectué : additions et soustractions de nombres décimaux ; calcul du bénéfice. Contrôle collectif.

II. Il fait beau. En éducation physique les filles vont lancer les balles comme au BSS.

Un garçon plus vaniteux qu’adroit se propose pour tracer dans la cour le carré de 2 m sur 2 m.
Le lendemain vives protestations des filles. Le carré était mal tracé, c’est pourquoi elles ont mal réussi leurs lancers.
Le maître : A quoi ressemblait ce « carré » ?
Les réponses nous amènent à passer en revue les quadrilatères.
Résultats obtenu : définition du carré.

III. Le tiercé : Un élève a dit que c’était un bon moyen pour devenir milliardaire.

Travail effectué: nombres inversement proportionnels (rapport du tiercé <---> nombre de parieurs gagnants).
Un autre élève regrette qu’il y ait tant de chevaux partants. Il dit (au hasard) qu’avec 9 partants il est sûr de gagner en ne jouant que 50 F (5 000centimes).
Travail effectué : recherche de toutes les permutations possibles sur la série 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9.

IV. La fête s’installe. Un élève déclare :

- J’ai mesuré la rotonde (longueur, largeur) et les dimensions des panneaux qui constituent les murs.
Travail effectué : périmètre ; surface de base de la rotonde ; volume de la rotonde; au bout de combien de temps l’air est vicié ?

V. Question en arrivant en classe :
- Combien mesure (en hauteur) l’échafaudage devant l’école ?
Avis partagés : 3 m - 6 m - 18 m.
Solutions trouvées:
1) monter en haut avec un grand fil à plomb et le mesurer.
2) l’échafaudage est constitué d’éléments égaux superposés. En mesurer un.
Autre piste : Et la hauteur de l’église ?
J’indique le procédé des triangles semblables.
mesure de AB et AC à la chaîne d’arpenteur,
les mesures sont faites plusieurs fois en des lieux différents.
VI. A propos des loyers (étude de la maison en sciences)
- Plusieurs élèves donnent des prix de loyers différents. Tous trouvent cela cher.
Un élève se demande s’il ne vaudrait pas mieux faire bâtir. Où trouver les renseignements?
- Les candidats au CEP : Dans votre recueil d’examens.
Résultats obtenus: quelques problèmes sur les loyers et la construction de la maison (7 élèves sur 9 ont bien assimilé).

VII. Toujours à la fête patronale : Un élève:

- Il a dû gagner de l’argent le manège d’auto-scooters !
Une équipe est chargée de rassembler les renseignements nécessaires (prix d’un tour, durée d’un tour, nombre de personnes par tour, temps total de fonctionnement).

J.C. GUILLON

Mesnil St-Père - 10

I. Un bock de bière coûte 80 c. Il contient 50 cl. Combien de bocks y a-t-il dans un litre ?

Exploitation :
- mesure de la capacité d’un bock réel (25 cl)
- étude du cl, du dl et du l,
- Différentes façons de mesurer 25 cl avec les mesures effectives de capacité,
- prix du l, francs et centimes, multiplication de nombres décimaux.

II.      Françoise          1,39 m          10 ans
          Maryse          1,75 m          13 ans
          Marie-Pierre 1,30 m          16 ans
          Bernard          1,54 m     13 ans
          Danielle            1,32 m           11 ans
          Évelyne           1,34 m          12 ans

Exploitation :
- classement croissant, décroissant,
- représentation graphique,
- notion de différence,
- recherche de problèmes simples.

a) calcul d’une taille connaissant l’une et la différence.

b) recherche de tous les problèmes possibles, du type suivant :
- M.P. mesure 0,24 m de moins que B. qui mesure 1,54 m et B. mesure 0,21 m de moins que Maryse. Tailles de M.P. et de Maryse ?
- Évelyne mesure 1,34 m soit 4 cm de plus que M.P. qui mesure 9 cm de moins que F. Tailles de F. et de M.P. ?

Jean PESLHERBE
Fontvannes - 10

1) Équipes de ménage et météo à la rentrée faites par affinités, il ne faut pas que les mêmes soient des 2 équipes la même semaine. Il y a donc à créer 2 listes d’ensembles sans interférences, avec 22 élèves c’est long et difficile mais le tâtonnement est riche.

2) Les assurances à 3 tarifs plus parents d’élèves. Symbolisations, ensembles et intersections entre assurance et parents d’élèves.

3) Nous vendons le journal 1 F mais nous n’avons gagné que 62 F avec 68 journaux. Combien ont été vendus 50 centimes ?

4) Le papa de Philippe a acheté 6000 tuiles. 5 personnes en déchargent 600 en 20 mn.

5) J’ai été malade, le médecin est venu 3 fois, maman a acheté des médicaments. La Sécurité Sociale rembourse 70% - 80%.

6) Sur l’ordonnance il y a: prendre des médicaments, mais il faut en acheter de trop. Prix de revient réel des médicaments. La Sécurité Sociale pourrait rembourser à 100% et faire des économies (c’est aussi de l’instruction civique !)

7) Nous avons des sacs de 75 kg de blé à vider dans des sacs de 100 kg. Cela en fait 66...

Recherche le nombre de sacs de 75 par la voie classique

8) Quelle dimension aura le papier pour couvrir un cahier de 17 cm x 22 cm avec 3 cm de rentrée ?

9) Surface de papier de mon cahier de brouillon (pagination et surface).

10) Les correspondants ont envoyé un plan de leur classe au 1/10° : échelle longueur et surface. L’écart entre la différence de périmètre et celle de surface entre les classes, aiguillé sur les variations du périmètre du rectangle quand la surface est constante - les notions de minimum (carré)-d’infini.

R. CROUZET
Melisey - 89

Joël : Papa a fait un « renfermis » pour les canes, avec des piquets, des planches et du grillage.
(Dimensions, prix).
On recherche l’enfoncement des piquets, les longueurs de grillage, le prix.
(La recherche du nombre de piquets par la classique méthode des intervalles s’avère inutilisable dans la pratique).
Nicole : On a posé un nouveau papier peint dans ma chambre.
(Dimensions, retombées, plinthes, ouvertures, bordures).
- Surface à couvrir.
- Nombre de rouleaux (3 méthodes : surfaces, longueur totale de papier, nombre de lés. La dernière est seule exacte, à cause des chutes qui sont inutilisables).
- Prix de revient.

Tous : Le postier de Bouilly a marqué sur le colis de nos correspondants: affranchi par l’expéditeur.
Pourquoi ?
- Recherche des tarifs - rapport poids et affranchissement.
- On constate : les correspondants ont payé en trop 4 centimes.
- On suppose : ils n’avaient pas de timbres à 20 centimes, ils ont mis 2 timbres de 12 centimes.

Jean-Louis : Je suis allé à Auxerre avec le car. J’ai circulé à pied dans Auxerre. Voici mon horaire :
- Recherche de vitesses moyennes, de durées, d’heures.
- Tracé et lecture d’un graphique.
Tous : Un chat perdu a adopté l’école comme lieu de résidence. On va le vendre !

Variations du bénéfice à la perte, quand on passe de nos espérances à la réalité, avec un prix de revient qui grandit de jour en jour (le chat mange) et un prix de vente (espéré) qui devient vite nul (cadeau). I1 va même falloir payer pour qu’on nous débarrasse du chat (P.V. négatif).

Jean-Louis accepte (il pense faire cadeau de son chat à une voisine et escompte un joli bénéfice). Pour lui : P.V. (nul) - P.R. (négatif) = Bénéfice (Positif).

Marylène : Papa a posé un nouveau carrelage dans la chambre d’amis. J’ai noté les dimensions de la chambre, celles des carreaux et leur prix.
On voit : la nécessité de l’échelle d’un plan (à cause de la forme plus ou moins allongée que chacun a donnée à son croquis).
On recherche : le nombre de carreaux (entiers, cassés) les quantités à acheter, le prix de revient.

Daniel : J’ai chez moi une cheminée en plâtre, avec une forme curieuse. Voici un croquis et les dimensions.
- Volume trop compliqué, décomposé à la pâte à modeler en volumes plus simples, que l’on calcule.
- Poids de la cheminée ?

Claudine : Maman vend ses lapins tantôt vivants, tantôt dépouillés et vidés (prix, poids, temps passé).
- Problème de rentabilité: le temps passé à la préparation est-il payé assez cher ?

Tout le monde a remarqué qu’un des robinets du lavabo goutte. Deux théorie : la perte est importante ou non.
On se renseigne : prix du m3 d’eau (facture).
On mesure : perte à la minute ; temps pour un écoulement d’un dl.
On calcule : le temps mis pour remplir 1 litre, un seau d’un dal.
Inversement, on recherche : le débit horaire, journalier, annuel, le prix de l’eau perdue. (Devant le résultat obtenu, on change vite le robinet !).

Claudine : J’ai mesuré et j’ai pesé un paquet de lessive, plein et vide, et un tonneau de même produit. Voici les dimensions et les prix.
On recherche le plus économique :
- par les poids,
- par les volumes et la contenance des paquets (le résultat est différent : on ne peut en tenir compte, les paquets ne sont remplis qu’aux trois quart).

Jacky VARENNE
Diges – 89

RECHERCHES EN CALCUL AVEC LES ENFANTS

(Extrait du bulletin de l’Indre)

FAVORISER LE TÂTONNEMENT EXPÉRIMENTAL
PAR LA CONFRONTATION DES RECHERCHES

Nous avons travaillé sur les fractions

Annette cherche des « vitesses moyennes » par un moyen peu orthodoxe qui a tout l’air de vouloir être la règle de 3 dont nous ne parlons jamais.

Exemples : 171 km parcourus en 2h15 mn.
171 CX 60 = 10500/135 ? Hum
105 km en 1h20 mn
105 x 60 = 6 300
6 300 : 80 = 78,750 ! C’est mieux !

Je vais à son secours car il me semble qu’elle n’a pas mis au point l’écriture de ce qu’elle doit tout de même comprendre. Je lui montre que son premier calcul est manifestement faux et que le second, qui n’est pas faux, ne suit pas l’ordre normal :

Pourquoi 105 X 60 ? C’est donc : 105 : 80 et nous multiplions pas 60. (Nous voici bien à la règle de 3 !)

Mais je suggère que ceci me paraît compliqué et je demande à tout le monde si ces nombres : 2h15 et 1h20, nous ne pourrions pas les écrire autrement. (Nous avons assez l’habitude d’en parler).

Donc quelqu’un trouve :
            2h15 = 2h 1/4
puis un autre :
            1h20 = 1h 1/3

Et je propose une révision des fractions de l’heure. Allons-y : ça part... et j’écris au tableau les réponses qui fusent :
30 mn               ½                     3mm                 1/20
20 mn               1/3                    1mn                  1/60
15 mn               ¼                     6 mn                 1/10
10 mn               1/6                    12 mn               1/5
5 mn                 1/12                  4 mn                 1/15

Nous avons déjà une bonne récolte. Pourrons-nous avancer encore ? Quelqu’un propose :
9 mn (3 fois 3)
donc 3/20 et 18 mn = 6/20

Nous les ajoutons au tableau que nous remettons en ordre:
30,        20,            18,            15,            12,            10,            9,            6,            5,            4,            3,            2,            1
½         1/3            6/20            ¼            1/5            1/6            3/20            1/10            1/12            1/15            1/20            1/30   1/60

Quelqu’un dit. Nous sommes allés à 18 mn en passant par 9 mais nous pouvons y aller en passant par 6 qui est 1/10

18 = 6 X 3 donc 3/10
Nous l’écrivons aussi :
6/20 ou 3/10 C’est pareil !
Observation : 6 = 2 fois 3
            20 = 2 fois 10
C’est tout simple !

Nous pouvons donc répéter ce que nous venons de découvrir. Allons-y !

Tout ça tourne autour des doubles. Qui complique ?
3/5 = 9/15 = 36/60 = 216/360
    (X3)    (X4)      (X6)

Allons plus loin ! Que pouvons-nous imaginer encore ? (Je sais bien que quelqu’un y pensera car nous associons toujours (multiplication ……..division, du plus petit au plus grand ? ……… du grand au petit dans les nombres égaux.

C’est Pierre qui va écrire la marche inverse, c’est-à-dire la division :

Eh bien, nous avons déjà vu pas mal de choses intéressantes pour ce matin.

A quatre heures Pierre et Laurent sont restés et ils recherchent encore.

Recommençons. Amusons-nous (multiplions! divisons! nous verrons).

Les deux sont bien multipliés par 4 ce qui vérifie notre point de départ. Nous pouvons partir à la maison !

Gilbert FOURNES

Une intéressante séance de travail

Dominique (CM2) propose : A ma fenêtre, il y a 8 carreaux rectangulaires de 25 cm sur 35 cm. Quelle est leur surface ?

Ce matin-là, nous n’avons rien d’autre à nous mettre sous la dent. Quelques critiques de la part des camarades : « Toujours des surfaces... Ce n’est plus intéressant » Dominique est déçu par ces remarques et je crois utile d’intervenir.

Pendant qu’ils calculent la surface (travail de routine) je découpe 8 rectangles de papier de 25 cm sur 35 cm et je demande à Dominique de disposer ses carreaux comme ils sont en réalité. Nous notons une première façon de retrouver la surface :

2 x 35 x 4 x 25 soit 7 000 cm2

Je propose de chercher les différentes façons de disposer les 8 rectangles de façon à obtenir de grands rectangles de 7 000 cm2 de surface. A partir de ce moment-là, les idées ne cesseront guère de fuser.

Et nous trouvons 8 façons de calculer la surface:

2 X 35 X 4 X 25 ou 70 X 100
2 X 25 X4 X 35 ou 50X 140
4X 35 X2 X 25 ou 140 X 50
8X 35 X 1 X 25 ou 280 X 25
8 X 25 X 1 X 35 ou 200 X 35
4 X 25 X 2 X 35 ou 100 X 70
1 X 25 X 8 X 35 ou 25 X 280
1 X 35 X 8 X 25 ou 35 X 200

Nous classons les résultats au tableau de droite et nous faisons des constatations

Cela suffit pour aujourd’hui.

Le lendemain, les F.E. se joignent au CM2 et nous continuons. Nous examinons les produits de 4 facteurs trouvés la veille, et j’isole les 4 produits suivants:

2 X 4 X 35 X 25
2 X 25 X 4 X 35
4 X 35 X 2 X 25
4 X 25 X 2 X 35

Nous constatons que l’ordre change et nous cherchons d’autres ordres possibles. Je propose de faire ce travail systématiquement avec:
a x b x c x d
Et nous découvrons les 24 façons d’écrire ce produit !
Ensuite, nous examinons les 4 facteurs:
2, 4, 25, 35

Plusieurs remarquent que:
4 = 2 X 2
25 = 5 X 5
35=5 x 7

Et nous écrivons:
2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 7 = 7000

Un F.E. qui a déjà vu ce genre de produits, constate que nous pouvons écrire également:
2³ X 5³ X 7 =7 000

Ce à quoi un autre ajoute :
10⁽³⁾ x 7 =7000
(ce qui nous est bien facile à vérifier).

Le fait que les facteurs 2, 5, et 7 sont premiers ne les a pas frappés. Je propose donc de chercher les diviseurs de ces nombres :
Diviseur 2 = {1,2}
Diviseur 5 = {1,5}
Diviseur 7 = {1,7}
2, 5 et 7 sont des nombres premiers.
Et pour finir, nous cherchons tous les nombres premiers jusqu’à 50. Que dire d’une telle étude ?

Nous n’avons pas tourné en rond, contrairement à ce que craignaient les enfants au départ.

Nous avons fait des mathématiques. Bien des notions ont été vues (associativité et commutativité de la multiplication, nombres premiers, etc.). D’autres ont été laissées de côté.

Nous n’avons pas cherché à faire des mathématiques modernes malgré notre ambition, nous sommes restés modestes.

Georges DELOBBE
Teuillac – 33

FAVORISER L’INTUITION

Tentative pour développer l’esprit critique face à des résultats « ahurissants »

Journal « Ouest-France » des 18-19 mars 1967. 778144 exemplaires.

Essai d’histoire chiffrée

Je répartis mon CM2-FE en équipes chargées respectivement de me calculer les questions qui ont été trouvées et élaborées en commun, à savoir:

- surface totale de papier utilisée- poids de ce papier

- longueur de la bande (du « lé », que l’on obtiendrait en mettant bout à bout les pages des 778144 exemplaires

- hauteur de la pile que l’on obtiendrait si l’on avait la possibilité d’empiler la totalité du tirage du jour plié sous bande.

Chaque équipe travaille séparément. Puis on procède au dépouillement des réponses.

I. Surface totale. Gérard et Jean-Claude annoncent, mais bien timidement : « 157,1539 ha !!! » Cette réponse, comme il fallait s’y attendre provoque scepticisme et raillerie. J’interviens :
- Toi, Jean, combien d’hectares cultive ton papa ?
- 47 ha.
- Connais-tu tous les champs de la ferme ?
- Oui.
- Es-tu allé dans tous ?
- Oui, quand j’accompagne papa à la chasse.
- Faut-il longtemps pour les battre tous ?
- Oh ! oui, et c’est fatigant !
- Penses-tu que ce serait possible, ainsi que la réponse de tes camarades semblerait l’indiquer, de recouvrir tous les champs de la ferme, entièrement et sans en oublier aucun, et même la cour, avec 1e papier utilisé pour le tirage du 18-19 mars ?
- Je ne sais pas, je ne crois pas... etc.

Tous ceux qui sont interrogés montrent le même scepticisme.

Les superficies exploitées par les parents des huit élèves « cultivateurs » du CM2-FE sont recensées et totalisées au tableau : 221 ha.

Conclusion à l’unanimité : « Ça ne se peut pas que la surface totale du journal soit presque aussi grande que huit fermes ! L’équipe s’est sans doute trompée !... »

II. Poids du papier (à raison de 108,6 g l’exemplaire, poids donné par le papa de Christian, receveur des PTT) : 84,506 t ! (ce qui aurait nécessité neuf voyages du gros camion « Magyrus » - 9,8 t de charge utile après vérification sur place - de notre voisin).

III. Longueur de la bande « 3081,450 km » me répond l’équipe responsable.

IV. Hauteur de la pile. « 7781,44 m » précise-t-on...

Toutes ces réponses sont si « démesurées » que, d’un commun accord, il est décidé de les vérifier toutes. Ce qui est une raison, et un prétexte, pour faire permuter les équipes entre elles, une fois, puis deux, puis trois... jusqu’à ce que chacune ait étudié les quatre questions posées.

A la fin, force est de convenir que les opérations ont été bien comptées et les virgules correctement placées, et que les réponses sont exactes en dépit de leur apparence.

Bien entendu, il reste à comparer à des dimensions connues pour tenter de les ramener à des dimensions plus concevables, plus concrètes. C’est ainsi qu’il est rapidement établi que le « lé » obtenu serait capable de couvrir non seulement la distance de Préaux à Chartres (60 km), mais encore 50 fois cette distance, et ces 50 lés, de chacun 51 cm de large, formeraient, juxtaposés, une magnifique autoroute de 25,50 m de large de Préaux à Chartres !

Etc., etc. Il serait, bien entendu possible d’exploiter cette histoire chiffrée plus à fond. Je n’y renonce pas a priori et me promets d’y revenir à l’occasion.

Vocabulaire. Nous en avons fait : journal quotidien, hebdomadaire, bi-hebdomadaire, mensuel, trimestriel, semestriel, etc., éditions, gérant, dispense de timbrage, publicité, province, région...

Il ne nous a manqué que la conclusion souhaitable, à savoir, la visite d’une imprimerie. Je crois néanmoins que nous n’avons pas perdu notre temps et qu’avec un peu de chance, nous n’oublierons pas, désormais, de « peser » les réponses que nous donnerons aux diverses questions des histoires chiffrées ou aux « problèmes » traditionnels qui peuvent en constituer une suite logique.

P. SAOUT

ÉLABORER EN COMMUN
DES CADRES SOUPLES DE TRAVAIL

Organisation de la classe

I. Matériel
Nous avions commandé avant la rentrée:
- 2 fichiers de «géométrie»
- 2 fichiers de «nombres complexes»
- 2 fichiers de problèmes CM
- 2 fichiers de problèmes FE-Transition
- les 30 bandes de l’atelier de calcul
- des bandes enseignantes du n° 61 au n° 120
- des cahiers autocorrectifs (n° 9 et n° 10 pour chaque élève)
- une boîte enseignante «Freinet» pour chaque élève.

Remarque : après expérience et pour l’année scolaire prochaine nous prévoyons l’achat d’autres fichiers de façon à ce qu’il y en ait un de chaque sorte par groupe de 5 élèves. Ceci pour diminuer encore les déplacements dans la classe.

II. Plannings et plans individuels

1) A chaque «chantier» (géométrie, nombres complexes, etc.) correspond un planning affiché dans un coin accessible aux élèves, l’absence de meubles leur permet d’approcher du mur.

Sur le planning chaque élève passe en couleur la case correspondant à l’exercice effectué. Si l’exercice n’a pas été résolu exactement du premier coup il use d’une couleur différente. Dans le cas où les circonstances le contraignent à refaire le même exercice (lorsque l’on s’est aperçu, au cours d’une séance de calcul vivant, de la résolution d’un calcul motivé par une enquête, etc, de la persistance d’une lacune) il barre la case au crayon à bille de façon visible.

Il est ainsi possible de vérifier quel est le nombre de répétitions nécessaires aux moins doués pour qu’une acquisition soit définitive.

2) Chaque élève possède un plan individuel (du modèle de ceux livrés avec les fichiers CEL) correspondant à chaque fichier et qu’il remplit simultanément.

Sur ce plan un premier trait en diagonale signalera le numéro d’exercice à faire à la suite d’une lacune décelée au cours des exercices déjà effectués collectivement ou individuellement

C’est l’examen du plan individuel qui permet à l’élève :
- de remplir son plan de travail au début de chaque semaine
- de montrer à ses parents ce qu’il a déjà fait.
Il pourra compléter son plan de travail avec les numéros portés au tableau spécial où nous inscrivons les fiches à faire par tous.
Remarque: Pour que l’enfant ne soit pas rebuté par les difficultés - d’un travail nouveau pour lui - mais au contraire encouragé, stimulé par la réussite
- parce que le niveau de l’une de nos classes était aussi très faible (voir plus loin : tests),
nous n’ouvrirons le chantier "fichier FE-Transition» qu’en janvier. Ceux du CM étaient peut-être un peu «faciles» pour certains, mais il leur a permis:
- de «foncer» et de prendre goût à ce genre de travail
- de libérer le maître d’autant, sa participation étant moins sollicitée.

III. Le calcul dans l’emploi du temps

Pour l’instant, chaque matin une heure est exclusivement réservée au calcul.

A l’instar de ce qui se passe en Français avec le texte libre, nous avons une séance de calcul vivant un jour, une séance de calcul individuel le jour suivant.

Liberté est laissée aux élèves de faire du calcul aux moments de la journée destinés au travail individuel.

Ils peuvent aussi emporter à la maison quelques fiches, les cahiers autocorrectifs ou la boîte enseignante et compléter ainsi, au besoin, leur plan de travail hebdomadaire.

IV. Calcul vivant

1) Organisation

- Un responsable des « occasions de calcul » (1) centralise toutes celles apportées par ses camarades, les classe, les numérote et nous dira quelle est celle dont le tour est venu d’être exploitée.

Ceci est une solution provisoire valable tant que le nombre d’ «occasions» n’est pas trop important. Quand elles proliféreront :
- nous choisirons l’occasion à la manière d’un T.L.
- ou le maître les proposera lui-même en choisissant d’abord les plus faciles.
- L’occasion de calcul apportée par l’élève est conservée ensuite par celui-ci avec ses T.L. personnels.
- Celles qui seront exploitées seront consignées sur le cahier de vie de la classe et sur le «carnet de bord» du maître.
-          Elles sont envoyées aux correspondants.        

(1)    Voir plus loin « occasions de calcul ».

2) Cahier de calcul

C’est un cahier de brouillon ordinaire. Nous ne sommes exigeants pour l’application que lors de l’exercice de contrôle du samedi matin (avant le contrôle du Plan de travail hebdomadaire).

L’essentiel est que le numéro de l’exercice soit visible. Exemple:
12 P = problèmes - fiche 12
32 G = géométrie - fiche 32
16 NC = nombres complexes - fiche 16
et les exercices clairement séparés et corrigés correctement. Avec la fiche-réponse il est aisé de corriger les réponses données et leur orthographe.

3) Le contrôle du samedi est fait sur copie

C’est :
- soit le test terminant la bande enseignante réalisée,
- soit un numéro de fiche pris au hasard par le maître parmi ceux effectués dans la semaine et marqués sur le Plan de travail de l’élève.

Sa rédaction et sa présentation doivent être impeccables. L’élève prouve ainsi qu’il sait présenter un travail et n’a pas besoin d’un exercice de présentation journalier.

Grâce à ce contrôle, nous saurons quels sont ceux qui auront mal fait leurs corrections. En effet:

- Il est convenu qu’une correction ne peut être faite que si elle est comprise.
- Dans le cas contraire l’aide du maître doit être sollicitée.

V. Des «occasions de calcul»

La première fut tirée des dépenses occasionnées par l’achat du matériel scolaire individuel. Elle donna lieu à quelques observations relevées sur le cahier journal:

- certains avaient mal posé leurs nombres sans tenir compte de la présence de nombres décimaux
- exercice de calcul rapide: aucun ne trouve une réponse exacte à la première fois
- exercice de calcul mental: si je paie avec 50 F, avec 100 F, combien me rend-on.

Les élèves ayant manifesté un certain intérêt pour cet exercice, nous proposons de nous lancer à la chasse aux occasions de calcul.

Elles devront être remises à un camarade qui les inscrira dans l’ordre où elles arrivent.

Évidemment les deux premières présentées furent des problèmes inventés. Les voici:

1) Papa a acheté un tonneau de vin de 1,4 hl pour 12 1580 F. Il a versé ce vin dans des bouteilles coûtant 1 350 F le cent et contenant 5 dl chacune. La mise en bouteilles coûte 576 F et il y a un déchet de 2,2 1 de lie.

2) Le voisin, pour peser un porc dans sa cage, se sert d’une bascule au dixième. L’équilibre est réalisé en plaçant sur le plateau 5 kg, un double kilogramme et, près de la cage2 kg. La caisse vide pèse 5 400 g.

L’énoncé écrit en abrégé au tableau par l’élève qui propose l’ «occasion» est critiqué pour sa présentation par les camarades. Par exemple on lui fait remarquer la confusion entre francs et centimes. Et avant de passer à la recherche des questions possibles (voir : exploitation de l’occasion de calcul) plusieurs font remarquer:
- qu’il a copié un énoncé de problème
- ou qu’il a inventé cet énoncé
- que nous préférions des problèmes réels.

Les premières véritables occasions ont concerné les achats effectués par maman, puis il y eut une mercuriale qui nous permit de calculer des prix moyens, Jean-Luc a raconté que son père avait fabriqué un aquarium dont il avait noté les dimensions, Dominique découvrit des choses intéressantes dans une BT. Le courant était lancé. Depuis les occasions ne manquent pas.

VI. Exploitation des occasions de calcul

1) Technique

a) l’occasion est lue par le maître. L’élève qui la propose l’écrit en abrégé au tableau pendant que ses camarades s’y essaient sur leur brouillon,
- première courte discussion sur la façon de présenter cet énoncé au tableau: est-ce clair, compréhensible, les données sont-elles correctement présentées?
b) recherche des question :
- un temps de réflexion plus ou moins long est donné à tous pour proposer des questions.
- on demande ensuite quelles sont les questions posées en s’adressant d’abord à ceux qui ont des difficultés en calcul. Ils savent qu’il en sera ainsi et s’appliquent à en trouver le plus grand nombre possible
- il y a toujours une discussion à propos de l’opportunité de chaque question posée mais aussi, finalement, à propos des renseignements qui manquent et qui auraient permis de rendre l’occasion plus intéressante.
c) calcul proprement dit: les différentes questions ayant été notées au tableau nous passons à leur résolution. Celui qui aura terminé en avance a la possibilité de travailler «aux fichiers».
Tout se fait sur un cahier de calcul, véritable brouillon.
d) L’occasion sera recopiée à l’intention des correspondants (solution copiée séparément) qui l’exploiteront à leur tour et nous pourrons comparer des différences dans les questions posées, dans la façon de les résoudre.
e) Nous marquons sur un tableau spécial, puis sur les plans individuels de calcul (pour la préparation des plans de travail de la semaine prochaine) les exercices se rapportant aux difficultés rencontrées (fichiers, bandes).

2) Quelques exemples
a) l’«occasion » incomplète: «Ma mère a fait tapisser notre couloir que j’ai mesuré. Longueur 4,10 m; largeur 2,70 m ; hauteur 2,50 m. Elle a acheté 25 rouleaux de 4 m. Elle a fait tapisser le plafond. Le rouleau coûte 900 F». (Thierry)

- Première observation: "Ce n’est pas 900 F mais 900 c ou 9 F».
- Nous passons à la ‘recherche des questions. On propose:
- la surface latérale
- la surface totale
- le volume du couloir
- le prix des rouleaux.
- C’est alors que Michel fait remarquer que le volume du couloir ne sert à rien.
- Le maître demande à ce que l’on réfléchisse encore.
- Daniel ou Bernard découvrent que la surface totale n’est pas la surface tapissée.
- Un camarade suggère que Thierry se renseigne pour connaître la dépense totale afin que nous sachions ce qu’ a coûté la main-d’oeuvre, mais Thierry précise qu’il a commis une erreur dans son énoncé puisque sa mère a tapissé elle-même.
- Après un nouveau temps de réflexion provoqué par l’air insatisfait du maître qui ne donne pas le signal du calcul proprement dit, quelqu’un propose que l’on vérifie s’il fallait bien 25 rouleaux en divisant la surface à tapisser par la surface d’un rouleau.
- Mais nous n’avons pas la largeur d’un rouleau.
- Alors on pourrait trouver la surface du rouleau à partir de la surface à tapisser et en divisant par 25. Ensuite nous pourrions trouver la largeur du rouleau.
- Comme le maître attend toujours, on relit plusieurs fois l’énoncé et finalement Bernard s’exclame: «et les portes?»
- Nous demandons à Thierry de compléter ses données pour le lendemain et passons à l’occasion suivante.

b) l’ «occasion» classique: «Nous avons acheté 1 kg de bonbons pour nos «corres» à 2,25 F les 250 g ».

Elle permettra une séance très intéressante de calcul mental, à partir d’exemples et prix différents proposés par les élèves.
- Prix de 1 kg, ½ kg ou 500g, 250g ou ¼ de kg, 125g ou 1/8 kg, 100 g ou 1/10 kg.
- En partant du prix du kg, celui de 100 g, 125 g, 250 g, etc.

c) née de la vie de la classe: (et avec les moyens du bord) «Mme Paulhiès a apporté des grandes feuilles pour le dessin. Mais elle ne connaissait pas le poids.

Elle savait que: 15 kg coûtaient 22,50 F
Il fallait connaître le prix du papier pour que le trésorier le marque sur le cahier de coopérative.
Il fallait une balance.»
Le responsable est allé au laboratoire mais il n’a trouvé qu’une balance Roberval sans poids et une balance trébuchet.
- Jean-Claude a dit: «On peut trouver le poids du papier avec la petite balance de précision.»
- Jean-Louis a affirmé que sans poids il pourrait peser le papier.

Sur la balance de précision Jean-Claude a mis
I feuille de papier                        20g 10g 2g 2g 1g
- il a trouvé le poids d’une feuille
- il a compté les feuilles: 200 f. - il a calculé le poids du papier:
35 g x     200 = 7 000 g = 7 kg.
- Jean-Louis a compté les feuilles: 200 feuilles
- A pris une boîte vide d’un litre et a fait la tare
- Il a rempli la boîte d’eau et a équilibré avec des feuilles
- donc 1 kg d’eau = 24 feuilles 1 000 g
- poids de 200 feuilles
41,6 g x 200 = 8 332 g = 8,332 kg
L’un a trouvé 7 kg, l’autre 8,332 kg.

Joseph propose alors: "On aurait pu chercher dans 200 feuilles combien il y avait de fois 24 feuilles?»... 8 fois donc 8 kg, mais il reste 8 feuilles...

O. et M. PAULHIES

L’organisation du travail en calcul

L’enseignement du calcul par rapport à celui du français pose un problème essentiel qui est celui du langage mathématique.

En effet quel que soit l’exercice portant sur l’étude de la langue, l’enfant conserve la possibilité, même si un élément de la discussion a échappé à sa compréhension, de suivre l’ensemble du travail et d’en tirer profit.

Au contraire, en calcul, la plus petite lacune conduit à l’arrêt de la progression. Ce qui peut être une défaillance dans les mécanismes (opérations, conversions) ou bien une inaptitude à suivre un raisonnement.

Dans le premier cas, l’enfant utilise sa langue maternelle, certes imparfaite mais qui, pour peu qu’on prenne quelques précautions, lui est parfaitement compréhensible.

Dans le second, et ceci est surtout sensible dans les recherches collectives, un détail peut bloquer l’élève et lui faire perdre pied.

Voici un compte rendu de ce que j’ai entrepris dans ma classe pour tenter d’éliminer cette difficulté.

J’ai divisé le travail en deux parties. L’une fait appel à la réflexion collective. L’autre met en oeuvre des exercices de rattrapage et d’entraînement.

I. Le travail collectif. Chaque fois que cela est possible nous utilisons l’actualité de la classe, c’est-à-dire les occasions de calcul rencontrées dans les textes, les enquêtes, les conférences, l’entretien du matin, etc.

Chacun alors travaille au cahier d’essai. Ce sera l’occasion de revoir, à même la vie, beaucoup de notions déjà acquises, mais dont l’usage doit devenir aisé (opérations, conversions, sens des opérations, des formules de surface, etc.) Chaque fois que possible nous calculons mentalement.

A même les données inscrites au tableau, chacun propose un calcul à effectuer.

Un exemple : Un jour, au cours d’un compte rendu de géographie, l’élève ignorait la distance Paris-Rome.

On lui a proposé d’utiliser.
- l’échelle de la carte
- l’horaire SNCF  
- l’horaire Air France
                         Fichier document.

Le lendemain matin, les données étaient inscrites au tableau. Nous avons pu faire de nombreux calculs et confronter les résultats.

Je peux alors passer dans les rangs et noter les difficultés rencontrées par tel ou tel élève.

Exemple: Sylviane s’embrouille dans ses divisions.

Étienne se trompe dans ses conversions.

Lorsqu’il s’agit d’une difficulté profonde, j’invite l’élève à noter le résultat trouvé par les camarades, de manière à ne pas perdre le fil. Le temps réservé au calcul individuel permettra de faire un rattrapage.

Mais la difficulté peut être d’un autre ordre. L’élève ne comprend pas "pourquoi il faut faire comme cela?»

Nous lui offrons une explication rapide faisant appel à une histoire chiffrée spontanée, conçue par un camarade: «C’est comme si tu faisais... »

Cette histoire chiffrée comporte toujours des nombres très simples.

Si l’incompréhension subsiste, je note: histoire chiffrée ou expérimentation (atelier de calcul).

Cette histoire chiffrée ou compte rendu d’expérience seront faits le lendemain par exemple et permettront d’étudier le point particulier sur lequel la classe a buté.

Un exemple: A propos de l’étude du cidre, Josiane avait apporté un densimètre.

Elle ne savait pas en expliquer le fonctionnement.

A l’atelier de calcul, elle a refait les expériences sur les densités (SBT). Elle a réalisé un densimètre. Puis elle a fait son compte rendu.

Un deuxième exemple : Christian avait apporté un très gros oeuf trouvé chez lui.

Pour pouvoir faire des comparaisons, ses camarades lui ont demandé d’en apporter un de taille normale.

A l’atelier de calcul, il a pesé ces oeufs, les coquilles, les blancs, les jaunes.

Toute la classe a travaillé sur les renseignements recueillis et nous avons pu établir de nombreux rapports.

Lorsque l’actualité ne nous fournit rien d’intéressant, nous nous reportons au plan annuel de travail et une équipe se charge de présenter une histoire chiffrée portant sur le thème choisi.

Là se situe un travail très intéressant. Lorsque l’équipe présente les données et les questions qui s’y rapportent, je ne dis rien et je laisse chacun examiner les unes et les autres. Souvent alors, il arrive qu’un élève dis : «Le problème n’est pas possible».

La discussion s’engage. On ne calcule rien, on lit, on imagine, on «essaie de voir» en faisant appel à l’expérience personnelle. Pour argumenter, on utilise très souvent l’histoire chiffrée spontanée.

A mon avis, cette pratique permet à tous les élèves de suivre le développement de la pensée.

Je n’interviens que lorsque la discussion risque de dévier ou de devenir stérile, et me laisse toute liberté de soutenir les plus faibles. Mais là en­core je peux noter les rattrapages à entreprendre.

Bien sûr, il arrive que le même élève bute sur plusieurs difficultés. I1 y aura donc un choix à faire pour établir le plan de travail individuel.

II. Le travail individuel. Il comprend :

1) Les rattrapages

- Opérations, conversions, seront effectuées grâce aux fichiers autocorrectifs (je les confectionne selon les besoins).

J’ai remarqué que l’atmosphère aidante des recherches collectives suscite chez l’enfant l’envie de combler ses lacunes. Les mécanismes perdent alors leur aspect rébarbatif car ils sont puissamment motivés. L’enfant aime réussir et participer effectivement à l’activité du groupe.

- Utilisation des formules de surface et autres mécanismes. Les fichiers de géométrie et nombres complexes de la CEL me paraissent parfaitement adaptés et donnent de grandes facilités de contrôle.

2) Entraînement

Lorsqu’un élève n’a pas rencontré de difficultés particulières, il prend dans les fichiers de problèmes, les fiches qui correspondent au thème étudié.

III. Contrôles

En dehors des «contrôles de rattrapage» je donne des «problèmes» conçus de telle façon que tous puissent en réussir au moins une partie et comportant des questions nombreuses et de difficulté croissante.

Exemple d’une séance de travail collectif

Nous avions visité une cidrerie.

Le lendemain, le groupe qui a fait cette visite donne un compte rendu des chiffres recueillis. Très vite, l’intérêt se porte sur la capacité des cuves à Calvados.

Gérard: Les douves mesurent 8 cm d’épaisseur.
Daniel: La plus grosse cuve a une capacité de 353 hl.
Philippe: Cela fait 353 000 1.
André: Non, cela fait 35 300 1; 1 hl = 100 l.
Je note au tableau.
Daniel donne toutes les capacités qu’il a notées. Nous convertissons. Je passe dans les rangs et je note les rattrapages à faire.
Didier: Cela fait beaucoup.
Nous cherchons des comparaisons.
Brigitte: La moitié de la classe.
On cherche comment vérifier.
André: Il faut calculer le volume de la classe.
Gilles: Il nous faut ses dimensions.
Patrick: Je vais mesurer.
Ensuite nous calculons le volume.
Beaucoup ne savent pas.

Rattrapages.
André: II faut convertir.
Thierry: 1 m3 = 1 000 litres.
J’écris au tableau. Je note les rattrapages.
Brigitte, qui a fait très vite: Cela fait 4,68 fois plus que la grosse cuve.
Elle explique comment elle a calculé. Je porte ses explications au tableau. Écriture et lecture du rapport.

J. RAVARY

L’atelier de calcul par bandes programmées

«* A ce jour, 30 bandes d’Atelier de Calcul sont éditées. D’autres sont en préparation. Afin qu’elles répondent au mieux aux besoins de toutes les classes, il est indispensable que vous nous écriviez comment vous utilisez les bandes éditées, ce que vous attendez d’autre, dans quelle mesure vous pouvez nous aider.

* Toutes les lettres que nous recevons portent les mêmes affirmations :

a) les enfants travaillent effectivement seuls; ils mènent à terme leurs réalisations sans avoir à déranger le maître, ou peu.

b) Grâce à la bande n° 1 (aménagement de l’atelier) on a vite fait de collecter et de mettre en ordre le matériel nécessaire pour une année de travail.

c) En fait de matériel il s’agit de choses simples de la vie (cailloux, boîtes, sachets, ficelles, etc.) et de quelques instruments de mesure (balance, thermomètre...) qui existent dans toutes les écoles. Les frais d’aménagement sont donc très réduits.

d) Ces bandes plaisent aux enfants parce qu’elles débutent par des réalisations manuelles (on fabrique un décamètre, un pendule, une mesure de capacité... semblables à celles qu’on utilise dans la vie ; on fait des expériences comme les hommes). C’est seulement à la fin que la bande devient plus intellectuelle et plus scolaire.

e) Ces bandes conviennent aussi bien aux classes de villes qu’aux classes de campagne. Elles ont été programmées en conséquence et, avant d’être éditées, elles ont été expérimentées dans des milieux divers: même une institutrice de Paris placée dans des conditions difficiles, connaissant à peine le calcul vivant et les mathématiques modernes, les utilisera avec succès si elle prend les précautions de bon sens que nous allons essayer de préciser.

* Mes élèves y travaillaient une heure, et même un peu plus, par jour. Et comme on était en fin d’année, avec des enfants non concernés par les examens, je me sentais assez libre de les laisser se consacrer longuement à leurs bandes, d’autant plus qu’ils aimaient beaucoup cela. Ils n’y travaillaient pas tous les jours de la semaine parce que je gardais un jour et même deux pour discuter de leurs apports et de leurs découvertes.

Dans ces conditions, un groupe qui avait entrepris, par exemple, la série des poids (4 bandes) mettait environ de 2 à 3 semaines pour réaliser le travail proposé.

* L’ensemble des 30 bandes éditées comprend 8 séries:

Pour le CE:
les longueurs:                4 bandes
les poids:                      4    «
les capacités:                3    «
le temps:                       5    «
la monnaie:                   4    «

Pour le CM
les figures géométriques:                        2 bandes
la température:                        2    «
les fractions:                         5    «

La plupart des camarades qui nous écrivent procèdent ainsi:

En général, chaque enfant note sur son plan de travail une bande d’Atelier de Calcul pour la semaine.

Ils y travaillent (en général par deux) de préférence l’après-midi. L’emploi du temps prévoit 1 heure, souvent 1 h 30 d’ateliers: tandis que les uns se consacrent aux bandes, d’autres impriment, peignent, exécutent des maquettes ou des marionnettes... Ainsi les conversations, le bruit, les déplacements ne nuisent pas au bon fonctionnement de la classe.

I1 y a évidemment d’autres façons de procéder, que nous serions heureux de connaître.

Une camarade nous signale qu’elle a essayé de mettre tous ses élèves en même temps à l’atelier de calcul. Elle n’y est pas parvenue; elle est alors revenue à la technique signalée ci-dessus.

* Il nous faut préciser si un seul jeu de bandes est suffisant pour faire travailler un groupe d’une dizaine d’enfants.

Est-ce qu’une série de bandes comme les poids, ou les fractions, doit être faite en entier et en ordre de la première à la dernière? Ou bien peut-on isoler chaque bande?

* Chaque bande à l’intérieur de chaque série est autonome; il est préférable de suivre l’ordre.

De ce fait, et comme tous les enfants ne travaillent pas en même temps aux bandes d’Atelier de Calcul, deux ou trois jeux de 30 bandes sont suffisants pour une classe de 30 à 35 élèves.

On peut même démarrer avec une seule série.

Il semble souhaitable de ne lancer les enfants dans ces bandes qu’après les avoir familiarisés - à l’occasion du calcul vivant - avec les longueurs, les poids... Cette année, mon CE1 ne démarrera dans les bandes d’atelier de calcul qu’à la rentrée de janvier. Je n’en fais pas une règle: il appartient à chaque maître de sentir le moment opportun.

* Mes élèves avaient un bagage commun acquis lors de notre calcul collectif des deux trimestres précédents. Par ces bandes, ils consolidaient des connaissances mais souvent aussi, ils découvraient et apprenaient du neuf: je pense surtout aux bandes des fractions, des figures géométriques et à certains points de toutes les autres. Car ces bandes sont bien en fait des bandes d’apprentissage.

* Les bandes d’atelier de calcul ne sont pas des bandes de mécanisation; ce rôle est dévolu aux 120 bandes autocorrectives du Cours de Calcul.

Les bandes d’atelier de calcul sont tout autre chose. Si elles sont intitulées initiation mathématique pour les classes élémentaires, c’est parce qu’elles se proposent d’amener les élèves à agencer des éléments du réel, à le reconstruire, à en découvrir les structures, à le représenter par des schémas variés, parce qu’elles invitent à estimer, à formuler des hypothèses... c’est un dialogue entre l’action et la pensée que nous avons voulu établir, nous efforçant par là d’être fidèles aux éternels principes que Freinet a mis en valeur et sur lesquels il a basé sa pédagogie.

Quand j’ai préparé la bande relative aux Horloges à eau par exemple, j’ai voulu que les enfants fabriquent de leurs mains un appareil simple où le temps se concrétise sous forme de liquide ; ce liquide s’écoule, occupe un volume, devient une ligne verticale, puis horizontale, puis circulaire, occupe une surface... et tout varie suivant que l’enfant agrandit ou rétrécit le trou...

Si je cite cette bande c’est parce qu’elle est bien connue grâce au montage audiovisuel réalisé par Danièle Gervilliers. Les mathématiciens, les professeurs, les psychologues qui ont examiné nos bandes d’atelier de calcul n’ont pas hésité à affirmer qu’il s’agissait bien d’initiation mathématique.

* J’étais habitué à utiliser les apports des enfants, l’actualité et en dernier ressort ma sollicitation, pour travailler et avancer en calcul. Les enfants apportaient des histoires, souvent inventées, ou des découvertes sur les nombres ou les figures...

Mais le travail à l’atelier de calcul est devenu un travail en soi, et ne se relie pas à l’ensemble de la vie de la classe.

* Les bandes d’atelier de calcul n’excluent pas le calcul vivant: elles le complètent mais elles n’y sont pas subordonnées.

Certes, certains d’entre nous, parce qu’experts en la matière, sont capables de provoquer de la part de leurs élèves des apports riches et variés; ils savent les exploiter mathématiquement. Mais ce ne sont là que des exceptions: dans la plupart des classes, on a des pannes, on tourne en rond.

-    Mes élèves, nous écrit-on, ne sortent pas des problèmes de commissions.

C’est pour parer à ces insuffisances que nous avons mis au point et édité nos bandes d’atelier de calcul.

Mais ce n’est pas la seule raison.

Quand des enfants travaillent collectivement on constate - et chez les élèves et chez le maître - des phénomènes d’émulation extrêmement séduisants: la pensée, parfois lente et brumeuse, rebondit tout à coup de l’un à l’autre, s’élève et atteint par moments des hauteurs vertigineuses.

Mais il y a le revers de la médaille: tantôt le maître laisse partir les forts et alors les faibles s’essoufflent et se découragent, tantôt il laisse les lents imposer leur rythme et ce sont les rapides qui se lassent parce qu’ils piétinent.

Alors que faire sinon offrir à chacun des travaux de qualité qu’il pourra choisir, effectuer au moment qui lui convient le mieux, à son rythme - des travaux où il ne se contentera pas de regarder mais qui lui permettront d’expérimenter effectivement.

Or, pour l’instant, nous n’avons rien trouvé de mieux que les bandes enseignantes.

* Je proposais des expériences, des mesures... pour cerner et explorer, ou consolider et mécaniser certaines notions sur lesquelles nous avions achoppé. Les enfants travaillaient, avec fiches ou indications orales, en plusieurs groupes et sur une même idée. Ensuite, on se regroupait pour faire la synthèse.

* Il faut conserver cette façon de faire qui est indépendante des bandes d’Atelier.

Prenons un exemple:

A la suite d’un «problème vivant» de voyage, on a appris ensemble à effectuer une soustraction de nombre complexes. Les enfants sentent la nécessité de la faire passer dans les automatismes. Pour cela nous aurons recours:
- aux opérations inventées par les enfants eux-mêmes (à la fin de la séance),
- aux fiches autocorrectives,
- à la bande du cours n° 85,

- mais pas aux bandes d’atelier de calcul qui sensibilisent à la notion de temps mais n’ont rien à voir avec la fixation des automatismes.

* Alors comment faire la synthèse de tout cela?

* Il appartient à chaque instituteur d’équilibrer le rapport entre les diffé­rentes techniques dont nous venons de parler, de doser non seulement au niveau de la classe, mais aussi au niveau de chaque élève, de donner au travail individuel et au travail collectif la part qui leur revient.

Il lui faut pour cela savoir utiliser les circonstances, sentir les besoins de chacun, faire jouer sa propre personnalité. Rôle subtil que rien ne peut remplacer et qui donne noblesse au métier.

Chez beaucoup de camarades, le travail collectif (mathématique et calcul) se fait chaque jour au cours de la deuxième partie de la matinée. Dans les classes de CM2 et de FE on donne le samedi un travail plus traditionnel afin d’habituer les enfants aux exigences des examens. Souvent, en fin de semaine a lieu une synthèse des travaux effectués aux bandes d’atelier: dépannage, complément, mise en appétit.

Grâce à ces 30 bandes d’atelier de calcul, le travail est facilité. Il le sera davantage quand nous aurons à notre disposition 50, 100 bandes encore mieux adaptées.

Continuez donc à nous y aider.»

M. BEAUGRAND - M. PELLISSIER

L’atelier mathématique par bandes programmées

Ces bandes ne seront pas préparées par les instituteurs, en chambre. Elles seront les comptes rendus de recherches effectuées dans les classes et programmées par les enfants eux-mêmes, avec la collaboration du maître bien sûr, mais aussi naturellement que lorsqu’il s’agit de la mise au net d’un texte pour le journal scolaire ou d’un album. Ainsi nous obtiendrons beaucoup plus facilement un contenu et une présentation adaptés réellement aux enfants.

Nous arrivons donc à une forme de programmation qu’on pourrait dire naturelle, qui se place sous le double signe de l’expression et de la communication.

Il va sans dire que l’atelier mathématique ne comprendra pas seulement des bandes programmées. Certaines recherches gagneront à être présentées en BT, d’autres en SBT ou en livrets. Chaque forme a ses avantages et ses inconvénients. Nous ferons au mieux selon les cas.

Je vois pourtant aux bandes au moins trois avantages:

- d’une part elles permettent de fractionner davantage le travail, donc de favoriser la réussite (on remédie au défaut de morcellement en présentant au début de la bande, chaque fois que c’est possible, une vue globale du problème),

- d’autre part, elles invitent le lecteur au travail, mais il n’y a pas pour autant aliénation de sa liberté: il fait défiler les plages de chaque bande au rythme qui lui plaît, et il donne sa langue au chat quand cela lui fait plaisir, pas du tout si tel est son désir,

- si on tourne plus facilement les pages d’une BT que les plages d’une bande, par contre la bande, dans sa boîte, est mieux protégée, ce qui est très appréciable lorsqu’il s’agit d’effectuer des constructions, des manipulations.

Ces bandes seront en grande partie éditées par séries et chaque série ouvrira plusieurs voies avec des conseils pour la formation des équipes de recherches, la prise de notes en vue de la synthèse.

Nous ne voyons pas d’inconvénients, bien au contraire, à ce qu’une équipe, après quelques plages, lancée dans la recherche, oublie la bande et travaille librement. Elle aura toujours la possibilité de confronter ses trouvailles à celles de ses camarades qui ont réalisé la bande.

On imagine toutes les interactions qui peuvent se produire au moment de la synthèse, tous les phénomènes d’élargissement et de convergence qui passionneront le maître et les élèves.

POUR UNE PÉDAGOGIE EXPÉRIMENTALE A GRANDE ÉCHELLE

Avant d’être éditées, les bandes d’atelier de calcul ont été expérimentées et mises au point dans des milieux pédagogiques très divers. Nous voudrions aller plus loin dans la préparation de l’atelier mathématique.

A Vence, en août, nous avons travaillé sur quelques bandes élaborées dans nos classes l’an dernier et nous les avons données à faire à des enfants qui se trouvaient là.

Dès octobre, ces bandes seront communiquées aux délégués départementaux. Ces prototypes ne sont qu’un point de départ qui permettra un échange de vues sur une base commune, car nous vous recommandons de les expérimenter dans vos classes, d’en discuter au cours des réunions départementales et régionales et de constituer des commissions pour préparer des bandes semblables. Vous vous mettrez alors en relation avec les responsables et la commission nationale choisira les meilleurs projets, les retouchera et les fera contrôler par un mathématicien.

Ainsi s’élargira notre chantier de recherche et d’expérimentation. Chacun de nous est responsable des outils que, coopérativement, avec nos élèves, nous préparons pour une pédagogie à la portée de tous.

M.B.

COMMENT COLLABORER

- Amélioration du Cours de Calcul: écrire à Monthubert, 86 - St-Rémy-sur-Creuse.
- Continuation de l’Atelier de Calcul: Blanc, 84 - St-Blaise- Bollène.
- Préparation de l’Atelier Math: Michel Pellissier, 38 - Vénérieu.

Le travail exposé ci-dessus a permis la préparation des dix premières bandes de l’atelier mathématique dont nous pouvons donner ci-après la liste.

LES DIX PREMIÈRES BANDES DE L’ATELIER MATHÉMATIQUE

A) Permutations

            AM 1 - Symbolisation-permutations à 4 éléments
(bande de sensibilisation)
            AM 2 - Permutations à 3 éléments - machines à permuter (bande de travail pour un petit groupe)
            AM 3 - Le secret des permutations (bande de trav. pour un petit groupe)
            AM 4 - Des permutations dans la vie (bande de synthèse et documentaire)

B) Quadrillage et coloriage d’un rectangle

            AM 5 - Bande collective de sensibilisation et de préparation
            AM 6 - Classements (suite de la bande précédente)
            AM 7 - Quadrillages (groupements par paires - documentaire)
            AM 8 - Classement - Transformation (à la suite du travail préparé par AM 5)

C) Les déplacements d’un carnet

            AM 9- Recherches sur les retournements
            AM 10 - Déplacements (suite) opérations sur les déplacements – coordonnées

QUELQUES OUVERTURES MATHÉMATIQUES

Graphiques

Les enfants ont d’abord tracé des dessins représentant le bruit d’un camion qui passe, de façon toute intuitive :

C’est progressivement qu’ils se sont intéressés à analyser leurs tracés, demandant ce que représentait cette courbe, ce point précis de la courbe, découvrant qu’ils avaient travaillé dans deux dimensions. Ils ont donc peu à peu précisé et utilisé souvent de tels dessins mettant en correspondance certaines variables. Citons par exemple la droite du fromage qui joint les points signalant que les dix morceaux d’un fromage passent de l’assiette dans le ventre de Michel (leur somme restant constante).

Bruit d’un cheval qui passe :

Vitesse de la voiture qui démarre, accélère, ralentit, tient sa vitesse, freine, stoppe :

Ce type de tracé est souvent obtenu par les enfants qui se placent à trois dans une encoignure de mur, deux d'entre eux se déplaçant librement et indépendamment le long des deux plinthes qui suivent les pieds des deux murs en angle droit, le troisième ayant pour tâche de les suivre tous les deux à la fois. Les rôles inverses parfois et c'est celui qui se déplace dans le plan du plancher qui oblige les deux autres le suivre chacun sur une plinthe.

Ce sont ces procédés qui permettent aux enfants d'exprimer de nombreuses découvertes dynamiques qu’ils saisissent avec une prédilection naturelle. Par exemple : Pierre et Michel se déplaçant le long des plinthes, font tourner Maryse en rond dans le plan, etc.

L'application de ces mises en lumière des diverses relations a amené bien entendu les enfants à inscrire le dessin caractéristique des « tables de multiplication ».

Le dessin se passe de commentaires.

Nous passons sous silence les remarques des enfants. Nous signalons seulement que ce type d'application linéaire revient en ligne de fond au cours de tous leurs travaux, tant pour des raisons naturelles que pour l'écho qu'elle trouve dans de nombreuses branches de la mathématique moderne.

Fonctions

Une des questions fondamentales que les enfants posent à tout propos et qui dépasse de beaucoup le seul domaine mathématique est de savoir si oui ou non « ça fonctionne ».

Cet abus de mots « ça fonctionne » exprime très bien le fait qu'un élément donné on fait correspondre avec sûreté un autre élément, assurant la sécurité et la sûreté du chemin qui mène un élément à l'autre. Ce sont ces données d'ordre biologique, logique, qui dominent les mathématiques. Sans les deux notions d'ensemble de fonctions, comme l'écrit Godement, on ne peut rien ; avec elles on peut tout en mathématiques.

La mise sur ensembles, comme toute mise sur orbite, est elle-même l'effet de poussées fonctionnelles que nous allons voir maintenant jouer dans des domaines courants réunis dans l'unité actuelle de la mathématique moderne.

Projections

Une fillette observe son ombre portée par le soleil sur le chemin. Elle part des points de son corps et leur découvre un point correspondant dans l'ombre. Mais analysant cette correspondance, elle s'aperçoit que si chaque point de son corps trouve, suivant la direction de la projection solaires, un point correspondant le plan (grossier) qui contient son ombre (ça fonctionne dans ce sens et c'est donc une fonction), il n'en va pas de même dans l'autre sens puisqu'elle observe que l'ombre des cinq doigts de sa main est réduite, à l'ombre d'un seul doigt. On ne peut donc, depuis l’ombre, revenir construire le corps de la fillette, car l'ombre n'indique pas qu'il y a cinq doigts ni quelle en sera la place. Dans le sens ombre fillette, « ça ne fonctionne pas », ce n'est pas une fonction.

Symétries (etc...)

Un autre exemple donné par l'étude des symétries qu'on rencontre sans cesse et qui font correspondre tel point à tel autre, et réciproquement, « fonctionnant » dans les deux sens.

Les enfants aiment tracer, à deux mains, des figures originales et symétriques par rapport à une droite d'un plan donné, ou bien par des soudures qu'ils réalisent avec du fil de laiton, fer à souder et soudure rapide, dans l'espace naturel à trois dimensions.

On les verra ici encore examiner « ça fonctionne » dans les deux sens.

Ils remarqueront encore, tout comme ils l’ont découvert progressivement pour la projection du soleil ou n'importe quelle autre de leur géométrie tracée et construite (projections parallèles), qu’à tel vecteurs correspond tel autre, que le milieu d'un segment se trouve appliqué sur le milieu du segment transformé, etc. assimilant ces études géométriques à celles qui, en arithmétique et en algèbre, soutiennent les propriétés linéaires, déjà soulignées plus haut et qui se traduisent comme dans les « règles de trois » par le fait que «  si d'une part un élément se trouve triplé, l'élément correspondant, par la transformation linéaire, se trouvera aussi triplé » etc.

Nous laissons de côté la figuration de ce type de fonctions (bijections, surjections, injections) qu'on trouve dans tous les ouvrages de vulgarisation élémentaire moderne par exemple Papy, tome un Mathématique moderne (éditions Didier - Paris).

On peut à notre avis est selon notre expérience, initier les tout petits enfants à ces correspondances entre points qu'ils ressentent et expriment eux-mêmes spontanément. Nous citerons ce fait : un enfant de quatre ans découvre sur une revue une photographie qui reproduit, en plus petit, la photographie de la couverture. Il découpe les deux images ; les places côte à côte dans la même position et commence à relever les correspondances entre les points des deux photographies.

Au bout d'un moment, il s'arrête lui-même stupéfait de la conclusion à laquelle l'amène sa réflexion.

Puisque à chaque point de la grande photo correspond un point dans la petite, et réciproquement, il vient naturellement à l'esprit de déduire qu'il y a autant de points dans la grande photographique dans la petite.

Comme l'écrivit Cantor dans ces mémorables recherches sur les ensembles : « Je le vois mais je ne le crois pas ! »

Cet enfant s'aperçoit que la géométrie découvre des conclusions différentes selon qu'elle s'appuie sur telle ou telle façon de la construire. Pour arranger les choses, il dit : « C'est que les points sont plus gros ici que là ». Mais l'idée de l'infini le travaille encore et affine infiniment les points, replaçant sans cesse la conclusion qu'il repoussait.

Nous terminerons par un exemple de recherche algébrique accessible à tous qui montre bien que toute théorie comporte des aspects familiers et communs qui en forment les racines simples et vivantes et les transfigurent peu à peu en simples travaux ordinaires.

Un enfant, en rangeant sa veste de laine, découvre que de tourner les deux manches de sa veste puis la manche droite est équivalente à tourner la manche gauche. « Plus court chemin », dit une autre enfant mise au courant de l'observation.

Les autres enfants s'intéressent à ces mouvements des manches qui parfois leur donnent tant de mal lors de leurs habillages et composent toutes les sortes de mouvements possibles.

Nous convenons avec eux de douter o : ne rien tourner ; t : tourner les deux manches ; d : tourner la droite et g : tourner la gauche.

Au bout d'un moment nous disposons de tout un faisceau de calcul, à deux, à trois, à cinq éléments qui se ramassent clairement dans le tableau suivant :

qui caractérise une structure de groupe à quatre éléments et appelle de nombreuses remarques ainsi que de nombreux échos pour des enfants qui ont ailleurs déjà rencontré cette structure.

Mais une structure, que ce soit celle du carburateur à essence, de la jambe du poulet, de l'aile de la mouche, de l'espace vectoriel ou du groupe de Klein, n'est rien que ce qu'elle permet. Ce ne sont ni des structures ni des machines que nous inventons, mais des pouvoirs.

Le pouvoir de cette structure se révèle pour les enfants par certains raccourcis, certaines propriétés qu'ils ont relevées en calculant et qui vont déplacer un niveau supérieur que l'ancienne psychologie dénommait abstrait pour n'avoir pas vu que toute expérience vivante, par les traces laissées en nous, se portait d'elle-même vers des niveaux plus rapides et efficients, en même temps que plus économique, selon les lignes générales de toute action.

Un enfant a remarqué que c'est commutatif : tg = gt = d, lisez : tourner les deux manches puis la gauche égale tourner la gauche ; puis les deux égales tourner la droite.

Un autre remarque que c'est toujours commutatif. (Je signale qu'ici, et seulement pour quelques curieux qui viendraient à dire cela, la question de l'associativité ne se pose pas, du moins dans le cas de ce travail.)

Un autre constate que les couples d'éléments identiques se neutralisent eux-mêmes, à savoir : tt = gg = dd = o.

Lisez, retourner les deux manches puis les deux manches... revient à ne rien retourner du tout.

Ces quelques lois ressenties avant que d'être exprimées par les enfants vont jouer maintenant et permettre, des calculs dans ce groupe particulier, suivant la proposition d'un enfant de trouver le « raccourci » de la formule suivante : ogdtoogdtotddddgt.

Un autre enfant repère les couples qui se neutralisent et peuvent donc s'exclure comme le o, il reste :

Gdtgddgt
Gdtggt
Gdtt
Gd = t

« tu as tourné les deux manches. »

Nous n'avons même pas eu besoin dans ce cas d'utiliser la commutativité de cette opération.

Ainsi les enfants, naturellement, partant d’un fait commun et familier, se sont élevés à un calcul algébrique dans lequel ils n'ont plus pris (du moins une bonne partie d'entre eux) référence aux objets matériels eux-mêmes mais aux lois de leurs compositions.

C'est en utilisant des calculs analogues qu’ils calculeront des circuits électriques, autant pour réaliser quelque machine à soulager leur pensée et à accroître son pouvoir qu'une installation électrique domestique.

École de Buzet

Bibliographie

Editions C.E.L.
-          Bibliothèque de l'Ecole Moderne n°13-14 « l'enseignement du Calcul » par C. Freinet et M. Beaugrand
-          Dossiers pédagogiques de l’Ecole Moderne n°22 : « Expérience de raisonnement mathématique à l’Ecole Maternelle » par M. Porquet
-          N°28-29 : « Expérience d’initiation au raisonnement logique » par M. Porquet
-          N°32-33 : « L’Enseignement mathématique » (2^e degré) par E. Lèmery

O.C.D.L. (65, rue Cl.Bernard, Paris 5^e)
-          Adler : Mathématique d’aujourd’hui
-          Revuz : Mathématique moderne, mathématique vivante
-          Diénès : Comprendre le mathématique
-          Diénès : Géométrie par les transformations
I.                    Topologie, géométrie projective et affine
II.                 Géométrie euclidienne
III.               Groupes et coordonnées

DELACHAUX et NIESTLE
-          Piaget : La genèse du nombre chez l’enfant
-          Madeleine Goutard : La mathématique et l’enfant

DIDIER (4-6 r. de la Sorbonne, Paris 5^e)
- Papy : Mathématique Moderne, tome I.